Arcs: forces et moments, poussée et cisaillement

Après avoir lu cet article, vous apprendrez: - 1. Les forces et les moments sur les nervures des arcs 2. La poussée normale sur toute section de la nervure des arcs 3. Le cisaillement radial 4. Les lignes d’influence.

Forces et moments sur les arcs:

je. Effet de la température:

Un arc à deux articulations et un arc attaché sont illustrés à la Fig. 13.8, illustrant l’effet de l’augmentation de la température sur les nervures de l’arc. En raison de la hausse de température, la longueur de la nervure de la voûte plantaire ACB augmentera à AC'B pour la voûte à deux articulations et à AC'B 'pour la voûte attachée.

L'effet de la température en cas d'arc à deux articulations sera différent de celui des arcs attachés. Dans le cas du premier cas, étant donné qu’il n’ya pas de déplacement des supports, l’augmentation de la longueur de la nervure de la voûte offrira une poussée, H t, sur les supports et le sommet de la voûte montera verticalement de C à C '.

Dans le cas de cette dernière, le rouleau essaiera de permettre à l'extrémité libre B de se déplacer vers B 'et tentera ainsi de relâcher la poussée, mais l'attache tentera en revanche de maintenir l'extrémité B en position. jusqu'à ce qu'il soit étiré à un point tel que la force de traction dans le lien est égale à la poussée de la voûte.

Cette force pour les arcs attachés sera inférieure à celle des arcs à charnière (travée, montée, etc. des deux arcs restant les mêmes). Cependant, la tension dans la cravate étant faible, la réduction de H ne sera pas très significative et, à toutes fins pratiques, la cravate et la nervure de l'arc peuvent être conçues pour H t même pour des arches nouées.

Si, t, est l'élévation de la température et α, le coefficient de dilatation, la nervure d'arc ACB augmentera en longueur jusqu'à AC'B, de sorte que AC'B = ACB (1 + αt). Si L est la travée de l'arc, il peut être prouvé que le support B, s'il est libre de se déplacer en raison de l'effet de la température, ira à B 'horizontalement de telle sorte que BB' = Lαt.

C'est-à-dire qu'en empêchant le mouvement de B, l'expansion horizontale de la voûte est empêchée.

Si H t est la poussée horizontale due à la prévention de l'expansion de la voûte, le moment de flexion d'un élément de la voûte situé à une hauteur y du point de départ du ressort est donné par:

M = H t y (13, 35)

On sait que l'augmentation horizontale de la portée δL d'une arche due au moment de flexion est donnée par:

La section et, en tant que telle, les moments d’inertie d’une section en arc de cercle varient du maximum au niveau des culées au minimum au sommet. Aux fins de la conception, le moment d'inertie de toute section x peut être pris comme suit: I = I C sec θ où I C est le moment d'inertie de la section de la couronne et θ est la pente de l'arc.

En substituant ds = dx sec θ et I = I c Sec θ, l'équation 13.37 devient:

Le retrait et l’écoulement plastique du béton raccourcissent la nervure de l’arcade et H devient alors une traction sur les culées. La chute de température provoquera également une traction et, par conséquent, l'effet de la chute de température doit également être dûment pris en compte, de même que le retrait et le fluage plastique du béton afin de répondre aux pires conditions.

ii. Raccourcissement de la voûte plantaire:

En raison du raccourcissement de la voûte, une partie de la force horizontale causée par une charge externe est réduite.

La force horizontale due à la charge externe est donnée par:

La valeur réduite de H due à la charge externe, y compris l'effet de raccourcissement de l'arche, peut être donnée par l'expression suivante:

Où M 1 = B, moment de fin à n’importe quelle section en raison de charges externes, l’arceau est considéré comme une poutre simplement supportée.

A = Surface de la section transversale de la nervure en arc en un point quelconque.

E = module de Young en béton à voûte.

Lorsque E est constant pour le même arc et que ds = dx sec θ A = Ac Sec θ (environ) et I = I C sec θ, l'équation 13.41 devient:

Si H a est connu, le moment M a, à n'importe quelle section de la voûte due à une charge externe, y compris l'effet de raccourcissement de la voûte, peut être évalué à partir de l'expression donnée ci-dessous:

Ma = (M 1 - H a y) (13, 43)

iii. Rétrécissement et écoulement plastique du béton:

L'effet du retrait de la nervure de la voûte plantaire est similaire à celui dû à la chute de température. La contrainte de retrait, Cs, peut donc remplacer la contrainte de température, dans l'équation 13.39, pour obtenir la traction Hs due au retrait.

En ce qui concerne l'effet de l'écoulement plastique du béton, la valeur de E peut être modifiée à la moitié de la valeur instantanée tout en déterminant les forces et les moments.

Lors de l'examen des expressions 13.39, 13.40, 13.42 et 13.44 pour l'évaluation des forces horizontales, on peut constater que seules la température et le retrait sont affectés par le flux plastique du béton, car les expressions concernant ces effets ne contiennent que le terme E.

Exemple illustratif 1:

Une arche parabolique à deux articulations d'une portée de 40 m est chargée avec une charge de 120 KN à chaque quatrième point (Fig. 13.9). La montée de la voûte est de 5m. Le moment d'inertie de la nervure de l'arc varie comme la sécante de la pente de l'arc. Trouvez les forces et les moments en considérant l'effet de la variation de température, du raccourcissement de la voûte, du retrait et de l'écoulement plastique du béton.

Donné:

a = 11, 7 x 10 - 6 par degrés centigrades, C s = 4 x 10 - 4, E = 31, 2 x 10 4 kg / cm 2, t = 18 ° C, A c = bxd = 30 x 150 cm = 4500 cm 2, I C = 8, 5 x 10 6 cm 4 .

Solution:

À partir de l'équation 13.10, l'équation d'une côte à arc parabolique est la suivante:

Intégration du numérateur:

Intégration du dénominateur:

Moments de flexion pour charges externes et poussées horizontales:

y en C = x / 80 (40 - x) = 10/80 (40 - 10) = 3, 75 m; y à D = 5, 0m

. . . Moment à A = Moment à B = 0 (puisque la voûte est articulée à A & B)

Moment en C = Moment en E = (M - Hy) = (V A x - Hy) = 180 x 10 - 455 x 3, 75 = 93, 75 KNm

Moment à D = VA x - 120 (x - 10) - Hy = 180 x 20 - 120 (20-10) - 455 x 5 = 125 KNm

Effet de la température:

La variation de la température d'effet est prise comme 2/3 de la variation de température réelle,

Raccourcissement de la voûte plantaire:

À partir de l'équation 13.42, la valeur de H, y compris l'effet du raccourcissement de l'arche, est donnée par:

Effet du retrait:

Coefficient de retrait, C s = 4 x 10 - 4

Si la nervure de l'arc est bétonnée en sections afin de réduire le retrait, cette valeur peut être prise égale à 50% de C s, soit 2 x 10 - 4 .

Effet du flux de plastique:

La valeur de E peut être prise égale à la moitié lors de l'estimation de l'effet de la température et du retrait. Par conséquent, les valeurs de H t et H s peuvent être réduites de 50% compte tenu de l’écoulement plastique du béton de la nervure de l’arcade.

Résumé des résultats:

(a) H dû à des charges externes = 455 KN (poussée)

(b) H a considérant un raccourcissement de la voûte = 448, 6 KN (poussée)

(c) H t dû à la température, y compris le débit de matière plastique = 50% de 27, 4 = ± 13, 7 KN (poussée ou traction)

(d) H s dû au retrait, y compris le débit de matière plastique = 50% de 39, 0 = (-) 19, 5 KN (traction)

. . . H maximum = 448, 6 + 13, 7 - 19, 5 = 442, 8 KN (poussée)

H minimum = 448, 6 - 13, 7 - 19, 5 = 415, 4 KN (poussée)

Moment de design sur la côte de la voûte à différentes sections:

Les moments de flexion sur différentes sections de l'arc sont illustrés à la Fig. 13.10. On peut noter que la poussée horizontale induite dans la nervure de l’arcade a réduit les moments de flexion libre de près de 87%.

Poussée normale sur n’importe quelle section de la voûte plantaire:

Pour la conception de toute section de la nervure de la voûte, il faut connaître l’ampleur du moment de flexion et la poussée normale. Les moments de flexion pour les charges permanentes et autres effets tels que la température, le raccourcissement de la voûte, le retrait, le flux de plastique, etc. peuvent être obtenus comme indiqué précédemment.

Les moments de flexion pour les charges vives peuvent être obtenus en utilisant des lignes d'influence. Par conséquent, afin d’obtenir toutes les forces et tous les moments de conception pour chaque section critique de l’arcade, non seulement les moments de flexion, mais également les poussées et les cisailles.

La procédure est maintenant expliquée. La poussée normale pour toute section X de la nervure en arc à une distance de A et soumise à la poussée horizontale H et à la poussée verticale V est donnée par P x = H cos θ + V sin θ.

S'il y a une charge en mouvement W agissant sur la voûte, la poussée normale à une section X (à une distance x de A) est donnée par:

(a) Lorsque la charge W est comprise entre A et X:

P X = H A cosθ + V A sinθ - W sinθ

= H A cosθ - (W - V A ) sin θ = H A cos θ - V B sin θ (13, 47)

(b) Lorsque la charge est comprise entre X et B:

X = H A cosθ + V A sinθ (13, 48)

Cisaillement radial dans une arche

Pour la conception de toute section, les valeurs de moment de flexion, de cisaillement et de poussée normale doivent être connues. La méthode de détermination du moment de flexion et de la poussée normale. Dans cet article, l'évaluation du cisaillement radial est expliquée.

Comme dans la poussée normale, si la charge en mouvement W est comprise entre A et X, le cisaillement radial S X sur une section est donné par:

Lignes d'influence pour la nervure de la voûte plantaire:

Dans les articles précédents, la procédure de détermination des moments, de la poussée et du cisaillement pour n’importe quelle section de charges statiques a été examinée. Dans le cas des ponts, les véhicules que le pont doit transporter ne sont pas statiques mais mobiles. Par conséquent, l'évaluation du moment, de la poussée et du cisaillement doit être effectuée à l'aide de lignes d'influence. Méthode de tracé des lignes d'influence pour l'arc parabolique à deux articulations.

Lignes d'influence pour les arcs paraboliques à deux articulations:

Lignes d'influence pour la poussée horizontale au niveau des piliers:

La poussée horizontale dans une arche à deux articulations portant une unité de charge concentrée à P à une distance de 'a' de l'origine est donnée par,

Le diagramme complet des lignes d'influence pour la poussée, H, est présenté à la Fig. 13.12b. Le coefficient pour les ordonnées du diagramme de la ligne d'influence pour diverses valeurs de «a» est donné dans le tableau 13.1.

Remarque:

(a) Les ordonnées pour le diagramme IL = coefficient x L / r.

(b) La poussée due à une charge concentrée W = ordonnée x W.

(c) La poussée due à une répartition des charges, / m = Surface de inf. ligne diag x ω.

Diagramme linéaire d'influence pour le moment de flexion à une section X:

Le diagramme de la ligne d’influence pour le moment au moment X (diagramme généralisé) est présenté à la Fig. 13.13a. Il en est de même pour x = 0, 25L et x = 0, 5L (c’est-à-dire au sommet) sur la Fig. 13.13b, les coefficients pour les ordonnées de Les moments aux différentes sections (x = 0, 0, 1 L, 0, 2 L, etc.) pour différentes positions de charge (c.-à-d. a = 0, 0, 1 L, 0, 2 L, etc.) sont indiqués dans le tableau 13.2.

Les ordonnées pour le diagramme de lignes d'influence doivent être obtenues en multipliant les coefficients par L. Le moment M X pour une charge concentrée W = coefficient x WL.

Diagramme de la ligne d'influence pour la poussée normale à la section X:

La poussée normale à n’importe quelle section X est obtenue en utilisant l’équation 13.47 ou 13.48, c’est-à-dire P X = H A cos θ - V B sin θ ou H A cos θ + V A sinθ selon que la charge est à gauche ou à droite de la section X respectivement.

Les lignes d'influence pour V A sin θ et V B sin θ sont deux lignes parallèles dont les ordonnées aux extrémités sont égales à sin θ car V A ou V B pour la charge unitaire en déplacement aux extrémités devient unité. La ligne d'influence pour H cos θ est cos θ multipliée par la ligne d'influence pour H telle qu'obtenue précédemment. Le diagramme des lignes d'influence pour P X est présenté à la Fig. 13.14a.

Diagramme de lignes d'influence pour le cisaillement radial en X:

Le cisaillement radial en X est donné par l'équation S X = H A sinθ + V B cosθ ou H A sinθ - V A cosθ selon que la charge unitaire est à gauche ou à droite de la section X.

Les lignes d'influence pour V A cosθ et V B cosθ sont deux lignes parallèles dont les ordonnées aux extrémités sont égales à cosθ avec une charge mobile unitaire. La ligne d'influence pour H sinθ est égale à sinθ fois la ligne d'influence pour H telle qu'obtenue précédemment. Le diagramme de la ligne d'influence final pour le cisaillement radial en X est illustré à la Fig. 13.14b.

Diagramme de lignes d'influence pour les arches à trois articulations et les arches fixes:

Les diagrammes de lignes d’influence pour les poussées sur les piliers, les moments, les poussées normales et le cisaillement radial dans une section X pour trois arcs articulés et des arcs fixes peuvent être dessinés de la même manière que celle expliquée pour les arcs à deux articulations.

Cependant, pour référence rapide, les diagrammes de lignes d'influence pour la poussée horizontale, H et pour le moment à la section X pour un arc parabolique à trois articulations sont illustrés à la Fig. 13.15 et ceux pour un arc parabolique fixe, à la Fig. 13.16.

Les diagrammes des lignes d’influence pour les moments aux sections x = 0, 2L et x = 0, 4L pour les arcs à trois articulations et aux sections x = 0, 2L et x = 0, 5L pour les arcs paraboliques fixes sont illustrés aux Fig. 13.17a et 13.17b, respectivement. Les coefficients pour les ordonnées pour la poussée, H et les moments à différentes sections, à la fois pour les arcs à trois articulations et pour les arcs paraboliques fixes, sont indiqués dans les Tableaux 13.3, 13.4, 13.5 et 13.6.

Remarque:

(a) L'ordonnée du diagramme de la ligne d'influence = coefficient x L / r.

(b) La poussée due à une charge concentrée, W = ordonnée x W.

(c) La poussée due à une charge répartie, / m = Surface de Inf. L. diag. x.

Remarque:

(a) L'ordonnée du diagramme IL = coefficient x L / r.

(b) La poussée, H pour une charge ponctuelle, W = co-eff. x WL / r = ordonnée x W.

(c) La poussée, H pour une charge répartie, / m = Zone d'influence diag. x.

Utilisation des coefficients de la ligne d’influence dans l’évaluation de la poussée et des moments avec des charges statiques:

Les diagrammes de lignes d’influence servent à évaluer la poussée horizontale maximale, le moment, etc. pour les charges en mouvement. Ces diagrammes et tableaux de courbes d’influence peuvent également être utilisés pour déterminer la poussée, le moment, etc. pour toute charge statique.

Exemple illustratif 2:

L'évaluation de la poussée et des moments pour la voûte parabolique est donnée à l'exemple illustratif 13.2 et à la figure 13.9, en utilisant des diagrammes et des coefficients linéaires d'influence.

Solution:

D'après le tableau 13.1, les coefficients de poussée pour la charge unitaire de 0, 25 L, 0, 5 L et 0, 75.L sont de 0, 1392, 0, 1953 et 0, 1392 respectivement.

La poussée déterminée précédemment = 455 KN. Par conséquent, la valeur obtenue par l'utilisation de coefficients de ligne d'influence est en accord avec la valeur précédente calculée par l'utilisation de formules.

Les coefficients pour les moments en C (x = 0, 25 L), D (x = 0, 5 L) et E (x = 0, 75 L) pour les charges en C (a = 0, 25 L), D (a = 0, 5 L) et E (a = 0, 75L) sont comme ci-dessous:

Coefficients en C ou E (c'est-à-dire à 0, 25 L ou 0, 75 L):

Coefficients à D (ieat 0.5L):

Par conséquent, les valeurs obtenues par l’utilisation du coefficient de ligne d’influence concordent avec celles de la formule. La faible variation est due aux coefficients approximatifs (jusqu’à trois décimales) utilisés dans le tableau. Bien qu'approximative, la méthode utilisant des coefficients de ligne d'influence est très rapide et présente donc certains avantages par rapport à la méthode précédemment utilisée.