Courbe normale: signification et applications

Après avoir lu cet article, vous en apprendrez plus sur: - 1. L’importance de la courbe normale 2. Les applications / utilisations de la courbe normale / la distribution normale 3. Le tableau des zones 4. Les problèmes pratiques.

Signification de la courbe normale:

La courbe normale a une grande importance dans la mesure mentale et l'évaluation éducative. Il fournit des informations importantes sur le trait mesuré.

Si le polygone de fréquence des observations ou des mesures d’un trait donné est une courbe normale, cela indique que:

1. Le trait mesuré est normalement distribué dans l'univers.

2. La plupart des cas présentent une moyenne du trait mesuré et leur pourcentage dans la population totale est d'environ 68, 26%.

3. Environ 15, 87% (50 à 34, 13%) des cas présentent un caractère élevé du caractère mesuré.

4. De même, environ 15, 87% des cas ont un caractère faible dans le trait mesuré.

5. Le test utilisé pour mesurer le trait est bon.

6. Le test a un bon pouvoir de discrimination car il fait la distinction entre les individus de groupe médiocre, moyen et élevé, et

7. Les éléments du test utilisés sont répartis équitablement en termes de niveau de difficulté.

Applications / utilisations de la courbe normale / distribution normale:

Il existe un certain nombre d'applications de la courbe normale dans le domaine de la mesure et de l'évaluation en psychologie et en éducation.

Ceux-ci sont:

(i) Déterminer le pourcentage de cas (dans une distribution normale) dans des limites ou des scores donnés.

(ii) Déterminer le pourcentage de cas supérieurs ou inférieurs à un score ou à un point de référence donné.

(iii) Déterminer les limites des scores incluant un pourcentage donné de cas.

(iv) Déterminer le rang de centile d'un élève dans son groupe.

(v) Déterminer la valeur en centile du rang en centile d'un élève.

(vi) Comparer les deux distributions en termes de chevauchement.

(vii) Déterminer la difficulté relative des items de test, et

(viii) Diviser un groupe en sous-groupes en fonction de certaines capacités et attribuer les notes.

Tableau des zones sous la courbe normale:

Comment utilisons-nous toutes les applications ci-dessus de la courbe normale dans la mesure et l'évaluation psychologiques et pédagogiques. Il est d'abord essentiel de connaître le tableau des zones sous la courbe normale. Le tableau A donne les fractions de l'aire totale sous la courbe normale trouvée entre la moyenne et les ordonnées érigées à différentes distances (sigma) de la moyenne.

La table des courbes de probabilité normale est généralement limitée à la surface sous la courbe normale des unités avec N = 1, σ = 1. Dans le cas où les valeurs de N et σ sont différentes de celles-ci, les mesures ou les scores doivent être convertis en scores sigma (également dénommés scores standard ou scores Z).

Le processus est le suivant:

Z = XM / σ ou Z = x / σ

Dans lequel Z = Score standard

X = score brut

M = moyenne des scores X

σ = écart type des scores X.

Le tableau des zones de la courbe de probabilité normale fait ensuite référence à la proportion de surface comprise entre la moyenne et la valeur Z. Bien que l'aire totale sous NP C soit égale à 1, mais pour des raisons pratiques, l'aire totale sous la courbe est supposée être de 10 000 en raison d'une plus grande facilité avec laquelle des fractions de l'aire totale peuvent ensuite être calculées.

La première colonne du tableau, x / σ, donne la distance en dixièmes d'une distance mesurée sur la ligne de base pour la courbe normale à partir de la moyenne comme origine. Dans la ligne, la distance x / σ est donnée à la deuxième place de la décimale.

Pour trouver le nombre de cas dans la distribution normale entre la moyenne et l'ordonnée dressée à une distance de la unité de la moyenne, descendons la colonne x / σ jusqu'à atteindre 1.0 et prenons la colonne suivante sous .00 l'entrée ci-contre 1.0, à savoir 3413.

Ce chiffre signifie que 3413 cas sur 10 000; ou 34, 13 pour cent de la surface totale de la courbe se situe entre la moyenne et la. De même, si nous devons trouver le pourcentage de la distribution entre la moyenne et 1, 56 σ, disons, descendons la colonne x / σ à 1, 5, puis horizontalement à la colonne en tête de 0, 06 et notons l'entrée 44.06. C'est le pourcentage de la superficie totale qui se situe entre la moyenne et 1, 56σ.

Nous n’avons jusqu’à présent considéré que les distances mesurées dans le sens positif par rapport à la moyenne. Pour cela, nous n’avons pris en compte que la moitié droite de la courbe normale. La courbe étant symétrique par rapport à la moyenne, les entrées du tableau A s’appliquent aux distances mesurées dans le sens négatif (à gauche) ainsi qu’à celles mesurées dans le sens positif.

Si nous devons trouver le pourcentage de la distribution entre la moyenne et -1, 28 σ, par exemple, prenons l'entrée 3997 dans la colonne .08, à l'opposé de 1.2 dans la colonne x / σ. Cette entrée signifie que 39, 97 des cas de la distribution normale se situent entre la moyenne et -1, 28σ.

Pour des raisons pratiques, prenons la courbe pour se terminer aux points -3σ et + 3σ éloignés de la moyenne, la courbe normale ne correspondant pas à la ligne de base. Le tableau de l'aire sous la courbe de probabilité normale montre que 4986, 5 cas sont compris entre moyenne et ordonnée à + 3σ.

Ainsi, 99, 73% de la distribution totale se situeraient dans les limites -3σ et + 3σ. Les 0, 27% restants de la distribution au-delà de ± 3σ sont considérés comme trop petits ou négligeables, sauf lorsque N est très grand.

Points à garder à l'esprit lors de la consultation du tableau des surfaces sous la courbe de probabilité normale:

Tenez compte des points suivants pour éviter les erreurs lors de la consultation du tableau des CNP:

1. Chaque score ou observation doit être converti en mesure standard, à savoir le score Z, en utilisant la formule suivante:

Z = XM / σ

2. La moyenne de la courbe est toujours le point de référence et toutes les valeurs des surfaces sont données en termes de distances par rapport à la moyenne qui est zéro.

3. La superficie en proportion peut être convertie en pourcentage et,

4. Lors de la consultation du tableau, les valeurs absolues de Z doivent être prises. Cependant, une valeur négative de Z indique les scores et la surface se situent en dessous de la moyenne et il convient de le garder à l'esprit lors du calcul ultérieur de la surface. Une valeur positive de Z indique que le score se situe au-dessus de la moyenne, c'est-à-dire du côté droit.

Problèmes pratiques liés à l'application de la courbe de probabilité normale:

(a) Déterminer le pourcentage de cas dans une distribution normale dans des limites ou des scores donnés.

Exemple 1:

Avec une distribution normale de 500 scores avec M = 40 et σ = 8, quel pourcentage de cas se situe entre 36 et 48.

Solution:

Score Z pour le score brut 36. Z = XM / σ 36-40 / 8 = -4/8

ou Z = -05. σ

Score Z pour le score brut 48. Z = 48-40 / 8 = 8/8 = +1.00

ou Z = + 1σ

Selon la zone de tableau sous NPC (Tableau -A), le pourcentage total de cas se situant entre les moyennes et -, 5σ est de 19, 15. Le pourcentage de cas en moyenne entre + 1 et est de 34.13. Par conséquent, le pourcentage total de cas qui se situent entre les scores 36 et 48 est de 19, 15 + 34, 13 = 53, 28.

(b) Déterminer le rang de centile d'un élève dans son propre groupe:

Le rang centile est défini comme le pourcentage de scores inférieurs à un score donné:

Exemple 2:

Le score brut d'un élève de classe X à un test de performance est de 60. La moyenne de la classe entière est de 50 avec l'écart type 5. Déterminez le rang de centile de l'élève.

Solution:

Nous convertissons d’abord le score brut 60 en score Z en utilisant la formule.

Selon le tableau d'aire sous NPC (tableau A), l'aire de la courbe comprise entre M et + 2σ est de 47, 72%. Le pourcentage total de cas inférieurs au score 60 est égal à 50 + 47, 72 = 97, 72% ou 98%.

Ainsi, le rang de centile d'un étudiant ayant obtenu 60 points à un test de rendement de la classe est de 98.

Exemple 3:

Dans une classe, le centile d'Amit dans la classe de mathématiques est 75. La moyenne de la classe en mathématiques est de 60 avec l'écart type 10. Découvrez les notes d'Amit au test de rendement en mathématiques.

Solution:

Selon la définition du classement par centile, la position d’Amit sur l’échelle des CNP est de 25% supérieure à la moyenne.

Selon le tableau des CNP, le score σ de 25% des cas de la moyenne est de + .67σ.

Ainsi, en utilisant la formule:

Les notes d'Amit en mathématiques sont 67.

(d) Division d'un groupe en sous-groupes en fonction du niveau de capacité

Exemple 4:

Compte tenu d'un groupe de 500 étudiants qui ont été soumis à un test d'aptitude mentale générale. L'enseignant souhaite classer le groupe en cinq catégories et leur attribuer les notes A, B, C, D, E en fonction de leurs capacités. En supposant que la capacité mentale générale soit normalement répartie dans la population; calculer le nombre d'élèves pouvant être placés dans les groupes A, B, C, D et E.

Solution:

Nous savons que l'aire totale de la courbe normale s'étend de -3σ à + 3σ sur une plage de 6σ.

En divisant cette plage par 5, nous obtenons la distance σ de chaque catégorie = 6σ / 5 = 1.2σ. Ainsi, chaque catégorie est répartie sur une distance de 1, 2σ. La catégorie C se situera au milieu. La moitié de sa superficie sera inférieure à la moyenne et l'autre moitié supérieure à la moyenne.

La distance σ de chaque catégorie est indiquée sur la figure.

Selon le tableau des CNP, le pourcentage total de cas allant de la moyenne à .6σ est de 22, 57.

Le nombre total de cas entre -, 6 σ et + .6σ est 22, 57 + 22, 57 = 45, 14%.

Ainsi, dans la catégorie C, le pourcentage total d’élèves est = 45, 14.

De même, selon le tableau des CPN, le pourcentage total de cas allant de la moyenne à la 1.8σa est de 46, 41.

Le pourcentage total de passes dans la catégorie B est de 46, 41 - 22, 57 = 23, 84%.

Dans la catégorie A, le pourcentage total de cas sera compris entre 50 et 46, 41 = 3, 59%.

De même, dans les catégories D et E, le pourcentage total d’élèves sera de 23, 84% et 3, 59 respectivement.