Courbe de probabilité normale: calcul, caractéristiques et applications
Lisez cet article pour en savoir plus sur le calcul, les caractéristiques et les applications de la courbe de probabilité normale en statistiques.
Calcul de la courbe de probabilité normale:
Si une pièce est lancée sans biais, elle tombera soit la tête (H), soit la queue (T). Cette probabilité d'apparaître une tête est une chance sur deux. Donc, le rapport de probabilité de H est ½ et T est ½.
De même, nous allons lancer deux pièces, une pièce x et une pièce y, il y a quatre façons possibles de tomber.
Ainsi, les quatre manières possibles sont: x et y peuvent tomber H, x peut tomber T et y H, x peut tomber H et yT ou les deux peuvent tomber T.
Exprimé en ratios
Probabilité de deux têtes = ¼
Probabilité de deux queues = ¼
Probabilité d'un H et d'un T = ¼
Probabilité d'un T et d'un H = ¼
Le rapport est donc ¼ + ½ + ¼ = 1, 00
L'aspect attendu des têtes et des queues de deux pièces peut être exprimé par:
(H + T) 2 = H2 + 2HT + T2
Si nous augmentons le nombre de pièces à trois, à savoir x, y et Z, il peut y avoir huit arrangements possibles.
L'aspect attendu des têtes et des queues de pièces peut être exprimé par:
De cette façon, nous pouvons déterminer la probabilité de différentes combinaisons de têtes et de queues d'un nombre quelconque de pièces. Nous pouvons obtenir la probabilité d'un nombre quelconque de pièces par expansion binomiale. Une expression contenant deux termes est appelée une expression binomiale. Le théorème binomial est une formule algébrique qui étend le pouvoir d'une expression binomiale sous la forme d'une série.
La formule se lit comme ceci:
(H + T) n = C (n, 0) H n + C (n, 1) H n-1 T + C (n, 2) H ( n-2) T 2 ….
… + C (n, r) H nr T r +…. + C (n, n) T n … (11.1)
Où C = Combinaisons possibles.
C (n, r) = n! / R! (n - r)!
n! signifie 1 x 2 x 3 x…. xn
n = nombre total d'observations ou de personnes.
r = Nombre d'observations ou de personnes prises à la fois.
Ainsi, l'expansion binomiale de
Si les données ci-dessus sont tracées sur un graphique sous forme d'histogramme et de polygone de fréquence, elles seront comme ci-dessous (fig. 11.1)
Ainsi, le chiffre obtenu par tirage au sort de 10 pièces (H + T) 10 est un polygone symétrique à plusieurs côtés.
Et si nous continuons à augmenter le nombre de pièces, à chaque augmentation, le polygone présenterait une ligne de surface parfaitement lisse comme le montre la figure 11.2 ci-dessous:
Cette courbe en forme de cloche est appelée «courbe de probabilité normale». Ainsi, le «graphique de la fonction de densité de probabilité de la distribution normale est une courbe en forme de cloche continue symétrique par rapport à la moyenne» est appelée courbe de probabilité normale.
En statistiques, c'est important parce que:
(а) C'est la distribution de nombreuses variables naturelles, telles que l'intelligence des élèves de 8e année, la taille des élèves de 10e année, etc.
(b) La distribution des moyennes des échantillons prélevés dans la plupart des populations mères est normale ou approximativement lorsque les échantillons sont suffisamment grands.
Par conséquent, la courbe normale a une grande importance en sciences sociales et en sciences du comportement. Dans la mesure du comportement, la plupart des aspects se rapprochent de la distribution normale. Ainsi, la courbe de probabilité normale ou plus communément appelée PNJ est utilisée comme courbe de référence. Afin de comprendre l'utilité du PNJ, nous devons comprendre ses propriétés.
Caractéristiques de la courbe de probabilité normale:
Certaines des principales caractéristiques de la courbe de probabilité normale sont les suivantes:
1. La courbe est bilatéralement symétrique.
La courbe est symétrique à son ordonnée du point central de la courbe. Cela signifie que la taille, la forme et la pente de la courbe d'un côté de la courbe sont identiques à l'autre côté de la courbe. Si la courbe est divisée en deux parties égales, son côté droit correspond complètement au côté gauche.
2. La courbe est asymptotique:
La courbe de probabilité normale approche de l’axe horizontal et s’étend de-∞ à +. Signifie que les extrémités de la courbe ont tendance à toucher la ligne de base sans jamais la toucher.
Il est décrit dans la figure (11.3) donnée ci-dessous:
3. La moyenne, la médiane et le mode:
La moyenne, la médiane et le mode se situent au milieu et sont numériquement égaux.
4. Les points d'inflexion se produisent à ± 1 unité d'écart type:
Les points d’influx dans un PNJ se produisent à ± 1 σ unité au-dessus et au-dessous de la moyenne. Ainsi, à ce stade, la courbe passe de convexe à concave par rapport à l’axe horizontal.
5. La surface totale de NPC est divisée en ± écarts-types:
Le total des PNJ est divisé en six unités d'écart type. Du centre, il est divisé en trois unités de déviation standard et plus de trois unités de déviation.
Ainsi, ± 3σ de NPC incluent un nombre différent de cas séparément. Entre ± 1σ, les 2/3 cas médians ou 68, 26%, entre ± 2σ, 95, 44% des cas et entre ± 3σ, 99, 73% des cas et au-delà de + 3σ, seuls 0, 37% des cas tombent.
6. L’ordonnée Y représente la hauteur de la courbe de probabilité normale:
L'ordonnée Y du PNJ représente la hauteur de la courbe. Au centre, l'ordonnée maximale est atteinte. La hauteur de la courbe au point médian ou moyen est notée Y 0 .
Afin de déterminer la hauteur de la courbe en tout point, nous utilisons la formule suivante:
7. C'est unimodal:
La courbe n'a qu'un seul point de pointe. Parce que la fréquence maximale ne se produit qu’à un moment donné.
8. La hauteur de la courbe diminue de façon symétrique:
La hauteur de la courbe diminue à la fois symétriquement par rapport au point central. Signifie que M + σ et M - σ sont égaux si la distance à la moyenne est égale.
9. La moyenne de NPC est µ et l'écart type est σ:
Comme la moyenne des CNP représente la moyenne de la population, elle est représentée par le µ (Meu). L'écart type de la courbe est représenté par la lettre grecque, σ.
10. Dans la courbe de probabilité normale, l’écart type est supérieur de 50% à la valeur Q:
Dans NPC, le Q est généralement appelé erreur probable ou PE.
La relation entre PE et a peut être définie comme suit:
1 PE = .6745σ
1σ = 1, 4826PE.
11. Q peut être utilisé comme unité de mesure pour déterminer la surface dans une partie donnée:
12. L’écart moyen par rapport à la moyenne des PNJ est de 0, 798 σ:
Il existe une relation constante entre l'écart type et l'écart moyen dans un CNP.
13. L'ordonnée du modèle varie de plus en plus par rapport à l'écart type:
Dans une courbe de probabilité normale, l'ordonnée modale varie de plus en plus par rapport à l'écart type. L’écart type de la courbe de probabilité normale augmente, l’ordonnée modale décroît et vice-versa.
Applications de la courbe de probabilité normale:
Certaines des applications les plus importantes de la courbe de probabilité normale sont les suivantes:
Les principes de la courbe de probabilité normale sont appliqués dans les sciences du comportement dans de nombreux domaines différents.
1. Le CNP est utilisé pour déterminer le pourcentage de cas dans une distribution normale dans des limites données:
La courbe de probabilité normale nous aide à déterminer:
je. Quel pourcentage de cas se situe entre deux scores d'une distribution.
ii. Quel pourcentage de scores se situe au-dessus d'un score particulier d'une distribution.
iii. Quel pourcentage de scores se situe en dessous d'un score particulier d'une distribution.
Exemple:
Avec une distribution des scores avec une moyenne de 24 et σ de 8. En supposant une normalité, quel pourcentage des cas se situera entre 16 et 32.
Solution:
Ici, tout d'abord, nous devons convertir les scores 16 et 32 en un score standard.
En entrant dans la table-A, la zone de table sous NPC, on constate que 34, 13 cas se situent entre la moyenne et - 1σ et 34, 13 cas entre la moyenne et + 1σ. Donc ± σ couvre 68, 26% des cas. Ainsi, 68, 25% des cas se situeront entre 16 et 32.
Exemple:
Avec une distribution des scores avec une moyenne de 40 et un σ de 8. En supposant une normalité, quel pourcentage de cas se situera au-dessus et au-dessous du score 36.
Solution:
Tout d’abord, nous devons convertir le score brut 36 en score standard.
En entrant dans la table-A, la zone de table sous le NPC, on constate que 19, 15% des cas se situent entre la moyenne et -5σ. Par conséquent, le pourcentage total de cas supérieurs au score 36 est 50 + 19, 15 = 69, 15% et en dessous du score 36 est compris entre 50 et 19, 15 = 30, 85%. Ainsi, dans la distribution, 69, 15% des cas sont supérieurs au score 36 et 30, 85% des scores inférieurs au score 36.
2. Le NPC est utilisé pour déterminer la valeur d'un score dont le rang en centile est attribué:
En utilisant la table des PNJ, nous pouvons déterminer le score brut de l'individu si le rang en centile est donné.
Exemple:
Dans une distribution des scores d'un rang, le rang de centile de Pinky dans les statistiques est de 65. La moyenne de la distribution est de 55 avec un écart type de 10. Trouver sauf le score brut de Pinky dans les Statistiques.
Solution:
Le rang de centile de Pinky étant de 65, sa position est de 35% supérieure à la moyenne dans une distribution normale. En entrant dans le tableau 'A', nous avons trouvé que 35% de la moyenne est + 1, 04 σ.
En mettant la valeur dans le score 'Z'.
3. NPC est utilisé pour trouver les limites dans une distribution normale qui incluent un pourcentage donné de cas:
Lorsqu'une distribution est normalement distribuée et que ce que nous savons sur la distribution est Moyenne et l'écart type à ce moment-là en utilisant la zone de tableau sous NPC, nous pouvons déterminer les limites qui incluent un pourcentage donné de cas.
Exemple:
Étant donné une distribution des scores avec une moyenne de 20 et σ de 5. Si nous supposons la normalité, quelles limites incluront les 75% moyens des cas.
Solution:
Dans une distribution normale, les cas moyens de 75% incluent 37, 5% de cas supérieurs à la moyenne et 37, 5% de cas inférieurs à la moyenne. Dans le tableau A, nous pouvons dire que 37, 5% des cas couvrent 1, 15 unité σ. Par conséquent, les cas moyens de 75% se situent entre la moyenne et ± 1, 15 unité σ.
Ainsi, dans cette distribution médiane, 75% des cas incluront les limites 14, 25 à 25, 75.
4. Il est utilisé pour comparer deux distributions en termes de chevauchement:
Si les scores de deux groupes sur une variable particulière sont normalement distribués. Ce que nous savons sur le groupe, c'est l'écart moyen et l'écart type des deux groupes. Et nous voulons savoir dans quelle mesure le premier groupe chevauche le second ou inversement, nous pouvons le déterminer à ce moment-là en utilisant la zone de tableau sous NPC.
5. Le CNP nous aide à diviser un groupe en sous-groupes en fonction de certaines capacités et en attribuant les notes:
Lorsque nous voulons diviser un grand groupe en certains sous-groupes en fonction de certaines capacités spécifiées à ce moment-là, nous utilisons les unités d'écart type d'un PNJ comme unités d'échelle.
Exemple:
Un test de rendement a été administré aux 600 élèves de 8e année. L'enseignant souhaite attribuer à ces élèves 4 classes, à savoir A, B, C et D, en fonction de leurs performances au test. En supposant la normalité de la distribution des scores, calculez le nombre d’élèves pouvant être placés dans chaque groupe.
Solution:
La zone sous un PNJ est divisée en ± 3 unités ou 6 unités.
Ici, nous devons diviser les étudiants en 4 sections.
Donc, chaque section a
Donc, si nous allons distribuer la section par ordre de mérite.
La section-A sera comprise entre 1.5σ et 3σ
La section B sera dans la moyenne à 1, 5σ
La section C sera dans la moyenne jusqu'à —1.5σ
et la section D sera avec dans —1.5σ à - 3σ.
6. Le CNP aide à déterminer la difficulté relative des objets ou problèmes à tester:
Lorsqu'on sait que le pourcentage d'élèves ayant résolu un problème avec succès, on peut déterminer le niveau de difficulté de l'item ou du problème en utilisant la zone de tableau sous NPC.
7. Les NPC sont utiles pour normaliser une distribution de fréquence:
Afin de normaliser une distribution de fréquence, nous utilisons la courbe de probabilité normale. Pour le processus de normalisation d'un test psychologique, ce processus est très nécessaire.
8. Pour tester la signification des observations d'expériences, nous utilisons NPC:
Dans une expérience, nous testons la relation entre les variables, que celles-ci soient dues à des fluctuations aléatoires ou à des erreurs de procédure d'échantillonnage ou s'il s'agit d'une relation réelle. Ceci est fait avec l'aide de la zone de table sous NPC.
9. Les CNP sont utilisés pour généraliser sur la population de l'échantillon:
Nous calculons l'erreur type de la moyenne, l'erreur type de l'écart type et d'autres statistiques pour généraliser à propos de la population à partir de laquelle l'échantillon est tiré. Pour ce calcul, nous utilisons la zone de table sous NPC.
