Sentential Calculus: Symbolisation, fonctions de vérité et leur interdéfinissabilité

Sentential Calculus: Symbolisation, fonctions de vérité et leur interdéfinissabilité!

Symbolisation - La valeur des symboles spéciaux:

Les arguments présentés en anglais ou dans une autre langue naturelle sont souvent difficiles à évaluer en raison de la nature vague et équivoque des mots utilisés, de l'ambiguïté de leur construction, des idiomes trompeurs qu'ils peuvent contenir, de leur style métaphorique potentiellement déroutant et de la distraction quelle que soit la signification émotionnelle qu'ils peuvent exprimer.

Même une fois ces difficultés résolues, le problème de la détermination de la validité ou de la non-validité de l’argument demeure. Pour éviter ces difficultés périphériques, il convient de mettre en place un langage symbolique artificiel, exempt de tels défauts, dans lequel des déclarations et des arguments peuvent être formulés.

L'utilisation d'une notation logique spéciale n'est pas propre à la logique moderne. Aristote a également utilisé des variables pour faciliter son propre travail. Bien que la différence à cet égard entre la logique moderne et classique ne soit pas de nature mais de degré, la différence de degré est énorme.

La plus grande mesure dans laquelle la logique moderne a développé son propre langage technique spécial en a fait un outil d'analyse et de déduction infiniment plus puissant. Les symboles spéciaux de la logique moderne nous aident à exposer plus clairement les structures logiques des propositions et des arguments dont les formes ont tendance à être obscurcies par la lourdeur du langage ordinaire.

Une autre valeur des symboles spéciaux du logicien est l’aide qu’il apporte à l’utilisation réelle et à la manipulation des instructions et des arguments. La situation ici est comparable à celle qui a conduit au remplacement des chiffres romains par la notation arabe. Nous savons tous que les chiffres arabes sont plus clairs et plus faciles à comprendre que les anciens chiffres romains qu'ils ont déplacés.

Mais la réelle supériorité des chiffres arabes n’est révélée que par le calcul. N'importe quel élève peut facilement multiplier 113 par 9. Toutefois, multiplier CXIII par IX est une tâche plus difficile, et la difficulté augmente avec la prise en compte de nombres de plus en plus grands. De la même manière, l’introduction d’une notation logique spéciale facilite grandement la conclusion d’inférences et l’évaluation des arguments.

Les logiciens modernes pensent que, à l'aide du symbolisme, nous pouvons effectuer des transitions de raisonnement presque mécaniquement à l'œil nu, ce qui autrement ferait appel aux facultés supérieures du cerveau.

De ce point de vue, assez paradoxalement, la logique ne vise pas à développer nos pouvoirs de pensée, mais à développer des techniques qui nous permettent d’accomplir certaines tâches sans avoir à trop réfléchir.

Les symboles de conjonction, de négation et de disjonction:

Nous divisons toutes les déclarations en deux catégories générales, simple et composée. Une instruction simple en est une qui ne contient aucune autre instruction en tant que composant. Par exemple, «Sudhir's honest» est une simple affirmation. Une instruction composée est une déclaration qui contient une autre instruction en tant que composant. Par exemple, «Sudhir's honnête et Sudhir's intelligent» est une déclaration composée, car elle contient deux déclarations simples en tant que composants.

La notion de composant d'une déclaration est assez simple, bien que ce ne soit pas exactement la même chose que «une partie qui est elle-même une déclaration». Par exemple, les quatre derniers mots de la déclaration «L'homme qui a tiré sur Lincoln était un acteur» pourraient en effet être considérés comme une déclaration à part entière. Mais cette déclaration ne fait pas partie de la déclaration plus large à laquelle ces quatre mots font partie.

Pour qu'une partie d'une déclaration fasse partie de cette déclaration, deux conditions doivent être remplies: premièrement, la partie doit être une déclaration en soi et, en second lieu, si la partie est remplacée dans la déclaration plus grande par toute autre déclaration, le résultat de ce remplacement sera significatif. Bien que la première condition soit satisfaite dans l'exemple donné, la seconde ne l'est pas. Car si la partie «Lincoln était un acteur» est remplacée par «il y a des lions en Afrique», le résultat est l'expression insensée «L'homme qui a tiré il y a des lions en Afrique».

Conjonction :

La conjonction est un type de déclaration composée. Nous pouvons former la conjonction de deux déclarations en plaçant le mot «et» entre elles; les deux déclarations ainsi combinées sont appelées «conjonctions». Ainsi, la déclaration composée «L'honnête de Sudhir et l'intelligent de Sudhir» est une conjonction dont le premier conjonctif est «L'honnête de Sudhir» et dont la deuxième conjonctive est «l'Intelligent de Sudhir».

Le mot "et" est un mot court et pratique, mais il a d'autres utilisations que celle de déclarations de connexion. Par exemple, la déclaration «Nehru et Netaji étaient des contemporains» n'est pas une conjonction mais une simple déclaration exprimant une relation. Pour avoir un symbole unique dont la seule fonction est de relier des instructions de manière conjointe, nous introduisons le point «•» comme symbole de conjonction. Ainsi, la conjonction précédente peut être écrite comme suit: «L'honnête de Sudhir est l'intelligent de Sudhir». Plus généralement, où p et q sont deux déclarations quelconques, leur conjonction est écrite p • q.

Nous savons que chaque affirmation est vraie ou fausse. Par conséquent, disons, chaque déclaration a une valeur de vérité, où la valeur de vérité d'une déclaration vraie est vraie et la valeur de vérité d'une déclaration fausse est fausse. En utilisant ce concept de «valeur de vérité», nous pouvons diviser les déclarations composées en deux catégories distinctes, selon que la valeur de vérité de la déclaration composée est entièrement déterminée par les valeurs de vérité de ses composants ou déterminée par autre chose que les valeurs de vérité. de ses composants.

Nous appliquons cette distinction aux conjonctions. La valeur de vérité de la conjonction de deux déclarations est entièrement et entièrement déterminée par les valeurs de vérité de ses deux conjonctes. Si ses deux conjonctions sont vraies, la conjonction est vraie; sinon c'est faux. Pour cette raison, une conjonction est dite être un énoncé composé à fonction de vérité, et ses conjonctions sont des composants à fonction de vérité.

Cependant, toutes les déclarations composées ne fonctionnent pas avec la vérité. Pour les besoins du présent document, nous définissons un composant d’une déclaration composée comme étant un élément fonctionnel de la vérité, à condition que, si le composant est remplacé dans le composé par des déclarations différentes ayant la même valeur de vérité que les autres, les différentes déclarations composées produites par ces remplaçants auront également les mêmes valeurs de vérité que l'autre. Et maintenant, nous définissons une déclaration composée comme une déclaration composée fonctionnelle de la vérité si tous ses composants en sont des composants fonctionnels.

Une conjonction est un énoncé composé à fonction de vérité, de sorte que notre symbole de point est un connecteur à fonction de vérité. Étant donné deux déclarations, /; et q, ils ne peuvent avoir que quatre ensembles de valeurs de vérité. Ces quatre cas possibles, ainsi que la valeur de vérité de la conjonction dans chacun, peuvent être affichés comme suit:

Où p est vrai et q est vrai, p • q est vrai.

Où p est vrai et q est faux, p • q est faux.

Où p est faux et q est vrai, p • q est faux.

Où p est faux et q est faux, p • q est faux.

Si nous représentons les valeurs de vérité «vraies» et «fausses» par les lettres majuscules T et F, la détermination de la valeur de vérité d'une conjonction par les valeurs de vérité de ses conjonctes peut être représentée plus brièvement et plus clairement au moyen d'une vérité table comme

Il est commode de raccourcir les énoncés simples en majuscules, en utilisant généralement à cet effet une lettre qui nous aidera à nous rappeler laquelle des déclarations abrégées. Ainsi, nous devrions abréger «l'intelligent de Sudhir et l'intelligent de Sudhir» en H • I.

Certaines conjonctions dont les conjonctions ont le même sujet - par exemple, «Byron était un grand poète et Byron était un grand aventurier» - sont plus brièvement et peut-être plus naturellement énoncées en anglais en plaçant le «et» entre les termes prédicats et ne répétant pas le terme sujet, comme dans «Byron était un grand poète et un grand aventurier». Pour nos besoins, nous considérons ce dernier comme une formulation.

La même déclaration que la première et symbolisant indifféremment P + A. Si les deux conjonctes d'une conjonction ont le même terme principal, comme dans «Lewis était un célèbre explorateur et Clark était un célèbre explorateur», là encore la conjonction serait habituellement énoncé en anglais en plaçant le «et» entre les termes du sujet et en ne répétant pas le prédicat, comme dans «Lewis et Clark étaient des explorateurs célèbres». L'une ou l'autre formulation est symbolisée par L • C.

Comme le montre la table de vérité définissant le symbole du point, une conjonction est vraie si et seulement si ses deux conjonctions sont vraies. Mais le mot «et» a un autre usage dans lequel il signifie non pas une simple conjonction (fonctionnelle de la vérité), mais le sens de «et, par la suite», signifiant succession temporelle.

Ainsi, la déclaration «Jones est entrée dans le pays à New York et est allé directement à Chicago» est importante et pourrait être vraie, alors que «Jones est allé directement à Chicago et est entré dans le pays à New York» est à peine intelligible.

Et il y a toute une différence entre «Il a enlevé ses chaussures et s'est couché» et «Il s'est couché et a enlevé ses chaussures». L'examen de tels exemples met l'accent sur le fait qu'il est souhaitable d'avoir un symbole spécial avec une conjonctive exclusivement fonctionnelle à la vérité. utilisation.

Il convient de noter que les mots anglais «but», «yet», «also», «still», «quoique», «cependant», «d'ailleurs», «Néanmoins», etc., et même la virgule et le point-virgule, peut également être utilisé pour associer deux déclarations en une seule instruction composée, et dans leur sens conjonctif, elles peuvent toutes être représentées par le symbole du point.

Négation:

La négation (ou contradiction ou négation) d'une déclaration en anglais est souvent formée par l'insertion d'un «not» dans la déclaration d'origine. On peut aussi exprimer la négation d’une déclaration en anglais en y ajoutant le préfixe «c’est faux» ou «ce n’est pas le cas». Il est de coutume d’utiliser le symbole (appelé «curl» ou moins). fréquemment, un "tilde") pour former la négation d'une déclaration. Ainsi, où M symbolise la déclaration «Tous les êtres humains sont mortels», les différentes déclarations

«Tous les humains ne sont pas mortels», «Certains humains ne sont pas mortels», «Il est faux que tous les humains soient mortels» et «Tous les humains ne sont pas mortels» ne sont pas indifféremment symbolisés par ~ M. Plus généralement, où p est un énoncé quelconque, sa négation est écrite ~ p. Il est évident que la boucle est un opérateur à fonction de vérité. La négation de toute déclaration vraie est fausse, et la négation de toute fausse déclaration est vraie. Ce fait peut être présenté très simplement et clairement au moyen d’une table de vérité:

Cette table de vérité peut être considérée comme la définition du symbole de négation.

Disjonction:

La disjonction (ou l'alternance) de deux déclarations est formée en anglais en insérant le mot «ou» entre elles. Les deux composantes ainsi combinées sont appelées "disjonctions" (ou "alternatives"). Le mot anglais «ou» est ambigu, il a deux significations liées mais distinctes.

L’une d’elles est illustrée dans l’affirmation «Les primes seront annulées en cas de maladie ou de chômage», car l’intention ici est évidemment que les primes soient annulées non seulement pour les personnes malades et les personnes sans emploi, mais également pour les personnes qui sont malades. et au chômage.

Ce sens du mot "ou" s'appelle "faible" ou "inclusif". Une disjonction inclusive est vraie au cas où l'une ou l'autre ou les deux sont vraies; si les deux disjonctions sont faux, leur disjonction inclusive est fausse. Le «ou» inclusif a le sens de «l'un ou l'autre, éventuellement les deux».

Le mot "ou" est également utilisé dans un sens fort ou exclusif, dans lequel la signification n'est pas "au moins un" mais "au moins un et au plus un". Où un restaurant inscrit "salade ou un dessert" sur son menu du dîner, il est clair que, pour le prix indiqué du repas, le dîneur peut avoir l’un ou l’autre mais pas les deux.

Nous interprétons la disjonction inclusive de deux déclarations comme une affirmation qu’au moins une de ces déclarations est vraie, et nous interprétons leur disjonction exclusive comme une affirmation qu’au moins une des déclarations est vraie mais que les deux ne sont pas vraies.

Notez que les deux types de disjonction ont une partie de leurs significations en commun. Ce sens commun partiel, qu’au moins l’un des disjonctions est vrai, est le sens entier du «ou» inclusif et fait partie du sens du «ou» exclusif.

Où p et q sont deux déclarations quelconques, leur disjonction faible ou inclusive est ᵛcrit p ᵛ q. Notre symbole de la disjonction inclusive (appelé «coin» ou, moins fréquemment, «vé») est également un connecteur en fonction de la vérité. Une disjonction faible n'est fausse que si ses deux disjonctions sont faux. Nous pouvons considérer le coin comme défini par la table de vérité suivante:

Le premier argument présenté dans cette section était un syllogisme disjonctif.

Le prisonnier aveugle a un chapeau rouge ou le prisonnier aveugle a un chapeau blanc.

Le prisonnier aveugle n'a pas de chapeau rouge.

Par conséquent, le prisonnier aveugle a un chapeau blanc.

Sa forme est caractérisée en disant que sa première prémisse est une disjonction; sa seconde prémisse est la négation du premier disjoint de la première prémisse; et sa conclusion est la même que la deuxième séparation de la première prémisse. Il est évident que le syllogisme disjonctif, ainsi défini, est valable pour l’interprétation du mot «ou», c’est-à-dire qu’il s’agisse d’une disjonction inclusive ou exclusive.

Puisque l'argument valide typique qui a une disjonction pour une prémisse est, comme le syllogisme disjonctif, valable pour l'interprétation du mot "ou", une simplification peut être effectuée en traduisant le mot anglais "or" en notre symbole logique "ᵛ" - quelle que soit la signification du mot anglais «or».

Lorsque les deux disjoints ont le même terme sujet 'ou le même terme de prédicat, il est souvent naturel de compresser la formulation de leur disjonction en anglais en plaçant ainsi le «ou» de sorte qu'il ne soit pas nécessaire de répéter la partie commune des deux disjoints .

Ainsi, «ou Smith est le propriétaire ou Smith est le gestionnaire» pourrait également être indiqué par «Smith est le propriétaire ou le gestionnaire», et l'un ou l'autre est correctement symbolisé par O v M. Et «soit Red est coupable ou Butch est coupable »serait souvent déclaré comme« soit Red ou Butch est coupable », l'un ou l'autre étant symbolisé par R ᵛ B.

Le mot «sauf si» est souvent utilisé pour former la disjonction de deux déclarations. Ainsi, «tu réussiras mal à l'examen si tu n'étudies pas» est correctement symbolisé par P ᵛ S. La raison en est que nous utilisons «à moins que» pour signifier que si l'une des propositions n'est pas vraie, l'autre est ou sera vraie.

Mais le mot «sauf si» est parfois utilisé pour transmettre plus d'informations que cela; cela peut vouloir dire que l'une ou l'autre proposition est vraie mais que les deux ne sont pas vrais. C'est-à-dire que «sauf si» peut être conçu comme une disjonction exclusive.

Ainsi, Jeremy Bentham a écrit: "Ce qui est bon politiquement ne peut être moralement mauvais, à moins que les règles d'arithmétique, qui sont bonnes pour un grand nombre, ne soient mauvaises pour un petit." Ici l'auteur voulait dire qu'au moins une des deux disjonctions est vrai, mais il a également clairement suggéré qu'ils ne peuvent pas être tous les deux vrais.

Ponctuation:

En anglais, la ponctuation est absolument nécessaire pour que les déclarations compliquées soient claires. Un grand nombre de signes de ponctuation différents sont utilisés, sans lesquels beaucoup de phrases seraient très ambiguës. Dans le langage de la logique symbolique, ces mêmes signes de ponctuation - parenthèses, crochets et accolades - sont également essentiels car, en logique, les instructions composées sont souvent elles-mêmes combinées pour en faire des déclarations plus compliquées.

Ainsi, p • q ᵛ r est ambigu. Cela pourrait signifier la conjonction de p avec la disjonction de q avec r, ou peut-être la disjonction dont la première disjonction est la conjonction de p et q et dont la deuxième disjonction est r. Nous distinguons ces deux sens en ponctuant la formule donnée par p • (q ᵛ r) ou bien par (p • q) r.

On peut voir que les différentes manières de ponctuer la formule originale font une différence en considérant le cas dans lequel p est faux et q et r sont tous deux vrais. Dans ce cas, la deuxième formule ponctuée est vraie (puisque sa deuxième disjonction est vraie), alors que la première est fausse (puisque sa première conjonction est fausse).

Ici, la différence de ponctuation fait toute la différence entre la vérité et le mensonge, car différentes ponctuations peuvent affecter différentes valeurs de vérité à l'ambiguë ambigu p • q ᵛ r. La négation d'une disjonction est souvent formée en utilisant l'expression «ni - ni». Ainsi, la déclaration «Ou Shakespeare ou Bernard Shaw était le plus grand auteur dramatique» peut être contredite par la déclaration. «Ni Shakespeare ni Bernard Shaw n’étaient le plus grand dramaturge». La disjonction serait symbolisée par S v B et sa négation par ~ (S ᵛ B) ou par (~ S) • (~ B).

Avec un ensemble de signes de ponctuation pour notre langage symbolique, il est possible d’écrire non seulement des conjonctions, des négations et des disjonctions faibles, mais également des disjonctions exclusives. La disjonction exclusive de p et q affirme qu'au moins une d'entre elles est vraie mais que les deux ne sont pas vraies, ce qui s'écrit tout simplement comme (p ᵛ q) '~ (p • q).

Toute déclaration composée construite à partir de simples déclarations utilisant uniquement les connecteurs fonctionnels de la vérité - dot, curl et wedge - a sa valeur de vérité entièrement déterminée par la vérité ou le mensonge de ses déclarations simples.

Si nous connaissons les valeurs de vérité des déclarations simples, la valeur de vérité de tout composé à fonction de vérité est facilement calculée. Par exemple, si A et B sont vrais et X et Y sont des déclarations fausses, nous calculons la valeur de vérité de l'instruction composée ~ [~ (A • X) • (Y ᵛ ~ B) comme suit. Puisque X est faux, la conjonction A • X est fausse, donc sa négation ~ (A • X) est vraie. B est vrai; ainsi sa négation ~ B est fausse, et puisque Y est faux également, la disjonction de Y avec ~ B, Y ᵛ ~ B, est fausse.

La formule entre crochets [~ (A • X) • (Y ᵛ ~ B)] est la conjonction d'un vrai avec un énoncé faux et est donc fausse. Par conséquent, sa négation, qui est la déclaration entière, est vraie. Une telle procédure par étapes nous permet toujours de déterminer la valeur de vérité d'une déclaration composée à partir des valeurs de vérité de ses composants.

Déclarations conditionnelles et implications matérielles:

Lorsque deux déclarations sont combinées en plaçant le mot "if" avant la première et en insérant le mot "then" entre elles, l'instruction composée résultante est une condition (également appelée "hypothétique", "implication" ou "déclaration implicative"). .) Dans une condition, l'instruction de composant qui suit le «si» s'appelle «l'antécédent» et l'instruction de composant qui suit le «alors» est le «conséquent».

Par exemple, «Si M. Jones est le voisin immédiat du serre-freins, il gagne exactement trois fois plus que le serre-freins» est une déclaration conditionnelle dans laquelle «M. Jones est le voisin immédiat du serre-freins» est l'antécédent et 'M. Jones gagne exactement trois fois plus que le serre-freins.

Nous introduisons maintenant un symbole spécial pour représenter cette signification partielle commune de l'expression «si - alors». Nous définissons le nouveau symbole “z” (appelé “fer à cheval”) en prenant p ﬤ q comme abréviation de ~ (p • q). La signification exacte du symbole «3» peut être indiquée au moyen d’une table de vérité:

Ici, les deux premières colonnes sont les colonnes de guidage; ils exposent simplement toutes les combinaisons possibles de vérité et de mensonge pour p et q. La troisième colonne est remplie par référence à la seconde, la quatrième par référence à la première et à la troisième, la cinquième par référence à la quatrième et la sixième est identique à la cinquième par définition.

Le symbole «» ne doit pas être considéré comme indiquant le sens de «si-alors» ou comme représentant la relation d'implication. Ce serait impossible, car il n'y a pas de signification unique de «si - alors»; il y a plusieurs significations. Mais le symbole «z» est complètement sans ambiguïté. Qu'est-ce que pdq abrégé est ~ (p • ~ q), dont la signification est incluse dans la signification de chacun des divers types d'implications considérées, mais qui n'en constitue pas le sens complet?

Nous pouvons considérer le symbole "ﬤ" comme représentant un autre type d'implication, et il sera opportun de le faire, puisqu'un moyen commode de lire p ﬤ q est "si p alors q." Mais ce n'est pas le même type d'implication comme n'importe lequel de ceux mentionnés précédemment. C'est ce qu'on appelle «l'implication matérielle» par les logiciens, qui, en lui attribuant un nom spécial, admettent qu'il s'agit d'une notion spéciale à ne pas confondre avec d'autres types d'implications plus habituels.

Aucune «connexion réelle» entre antécédent et conséquent n'est suggérée par une implication matérielle. Tout ce qu’elle affirme, c’est qu’en réalité, l’antécédent n’est pas vrai lorsque le conséquent est faux. Il convient de noter que le symbole d’implication matériel est un connecteur à fonction de vérité, comme les symboles de conjonction et de disjonction. En tant que tel, il est défini par la table de vérité.

Ainsi défini par la table de vérité, le symbole du fer à cheval «ﬤ» présente des caractéristiques qui peuvent paraître étranges au premier abord. L'affirmation selon laquelle un faux antécédent implique matériellement un résultat conséquent est vraie; et l'affirmation selon laquelle un faux antécédent implique matériellement un faux consécutif est également vraie.

Fonctions de vérité et leur déclaration d'interdéfinissabilité Formulaires, équivalence matérielle et équivalence logique:

Il existe un parallèle exact entre la relation argument-forme-argument, d’une part, et la relation déclaration-déclaration, de l’autre. La définition de «formulaire d’instruction» le montre clairement: Un formulaire d’instruction est une séquence de symboles contenant des variables d’instruction, mais pas d’instruction, telle que, lorsque les instructions sont substituées aux variables d’instruction - la même instruction étant substituée à la même variable d’instruction le résultat est une déclaration.

Ainsi, p ᵛq est une forme d’instruction, car lorsqu’on substitue des instructions aux variables p et q, on obtient une instruction. Puisque l'instruction résultante est une disjonction, pvq est appelée une «forme d'instruction disjonctive». De manière analogue, p • q et p ﬤ q sont appelés «formes d'instruction conjonctive» et «conditionnelles» et ~ p est appelée «forme de négation» ou « forme de refus. "

Tout comme un argument d’une certaine forme est considéré comme une instance de substitution de cette forme, de même toute déclaration d’une certaine forme est dite une instance de substitution de cette forme d’instruction. Et tout comme nous avons distingué la forme spécifique d'un argument donné, nous distinguons la forme spécifique d'une instruction donnée en tant qu'instruction, forme à partir de laquelle l'instruction résulte en substituant une instruction simple différente pour chaque variable d'instruction différente. Ainsi, pvq est la forme spécifique de la déclaration «Le prisonnier aveugle a un chapeau rouge ou le prisonnier aveugle a un chapeau blanc».

Formulaires de déclaration tautologique, contradictoire et conditionnelle:

Il est parfaitement naturel de penser que même si les déclarations «Lincoln a été assassiné» (symbolisé par L) et «Ou bien Lincoln a été assassiné ou il ne l'était pas» (symbolisé par L v ~ L) sont toutes deux vraies, elles sont vraies » de différentes manières »ou ont« différents types »de vérité. De même, il est parfaitement naturel de penser que, bien que les déclarations «Washington a été assassiné» (symbolisé par W) et «Washington ait été assassiné et non assassiné» (symbolisé par W • ~ W) sont toutes les deux fausses, elles sont fausses «dans différentes manières »ou ont« différents types »de mensonge. Sans prétendre donner aucune explication psychologique à ces «sentiments», nous pouvons néanmoins souligner certaines différences logiques auxquelles elles sont probablement appropriées.

La déclaration L est vraie et la déclaration W est fausse; ce sont des faits historiques. Il n'y a aucune nécessité logique à leur sujet. Les événements pourraient s'être déroulés différemment et les valeurs de vérité de déclarations telles que L et W doivent être découvertes par une étude empirique de l'histoire.

Mais l'affirmation L v ~ L, bien que vraie, n'est pas une vérité de l'histoire. Il y a là une nécessité logique: les événements n'auraient pas été de nature à le rendre faux, et sa vérité peut être connue indépendamment de toute enquête empirique particulière. La déclaration L v ~ L est une vérité logique, une vérité formelle, vraie en vertu de sa forme seulement. Il s'agit d'une instance de substitution d'une instruction provenant de toutes les instances de substitution qui sont des instructions vraies.

Une déclaration qui ne contient que de vraies instances de substitution est appelée "forme d'instruction tautologique" ou "tautologie". Pour montrer que l'instruction de pv ~ p est une tautologie; nous construisons la table de vérité suivante:

Il n’existe qu’une colonne initiale ou une colonne guide pour cette table de vérité, car le formulaire considéré ne contient qu’une seule variable d’instruction. Par conséquent, il n'y a que deux lignes, qui représentent toutes les instances de substitution possibles.

Il n'y a que des T dans la colonne sous le formulaire de déclaration en question, et ce fait montre que toutes ses instances de substitution sont vraies. Toute déclaration qui est un exemple de substitution d'une forme de déclaration tautologue est vraie en raison de sa forme et est elle-même dite tautologique ou tautologique.

Une déclaration qui ne contient que de faux cas de substitution est dite "contradictoire" ou "contradictoire" et est logiquement fausse. L'affirmation de p • ~ p est contradictoire, car dans sa table de vérité, seuls les F apparaissent sous celle-ci, ce qui signifie que toutes ses instances de substitution sont fausses. Toute déclaration, telle que W • ~ W, qui est un exemple de substitution d'une forme de déclaration auto-contradictoire, est fausse en raison de sa forme et est elle-même dite contradictoire ou contradictoire.

Les formes d'instructions qui ont à la fois des déclarations vraies et fausses parmi leurs instances de substitution sont appelées «formes d'instructions contingentes». Toute instruction dont la forme spécifique est contingente est appelée «instruction contingente». Ainsi, p, ~ p, p • q, pvq et p ﬤ q sont tous des formulaires de déclaration contingente. Et des déclarations telles que L, L, L, W, L ᵛW et L ﬤ W sont des déclarations contingentes, car leurs valeurs de vérité dépendent ou dépendent de leur contenu plutôt que de leur seule forme.

Toutes les formes de déclarations ne sont pas aussi manifestement tautologiques, contradictoires ou contingentes que les simples exemples cités. Par exemple, la forme de l'énoncé [(p ﬤ q) p] 3 p n'est pas du tout évident, bien que sa table de vérité indique qu'il s'agit d'une tautologie. Il porte même un nom spécial, «loi de Peirce».

Équivalence matérielle:

Deux déclarations sont dites «matériellement équivalentes» ou «équivalentes en valeur de vérité», lorsqu'elles sont toutes deux vraies ou fausses. Cette notion est exprimée par le symbole "". L'équivalence matérielle est une fonction de vérité et peut être définie par la table de vérité suivante:

Chaque fois que deux déclarations sont matériellement équivalentes, elles s’impliquent matériellement. Ceci est facilement vérifié par une table de vérité. Par conséquent, le symbole «=» peut être lu «si et seulement si». Un énoncé de la forme p = q est appelé «bi-conditionnel» et la forme est également appelé «bi-conditionnel».

Equivalence Logique:

Deux déclarations sont logiquement équivalentes lorsque (la déclaration de) leur équivalence matérielle est une tautologie. Ainsi, le «principe de double négation», exprimé sous la forme d'une condition biconditionnelle, se révèle tautologue par la table de vérité suivante:

ce qui prouve l'équivalence logique de p ≡ ~ ~ p.

La différence entre l’équivalence logique et l’équivalence matérielle est très importante. Deux déclarations ne sont logiquement équivalentes que lorsqu'il est absolument impossible que les deux déclarations aient des valeurs de vérité différentes.

Par conséquent, les déclarations logiquement équivalentes ont la même signification et peuvent être substituées les unes aux autres dans n'importe quel contexte de fonctionnement de la vérité sans changer la valeur de vérité de ce contexte. Mais deux déclarations sont matériellement équivalentes (même si elles n’ont aucun lien factuel entre elles) si elles ont simplement la même valeur de vérité. Les déclarations qui sont simplement matériellement équivalentes ne peuvent donc certainement pas se substituer les unes aux autres.

Les théorèmes de De Morgan:

Il existe deux équivalences logiques (c'est-à-dire, bi-conditionnelles vraies logiquement) d'un intérêt et d'une importance intrinsèques qui expriment les interrelations entre conjonction, disjonction et négation. Puisque la disjonction pvq affirme simplement qu’au moins l’une de ses deux disjonctions est vraie, elle n’est pas contredite par l’affirmation qu’au moins une est fausse, mais seulement en affirmant que les deux sont fausses. Ainsi, affirmer la négation de la disjonction pvq équivaut logiquement à affirmer la conjonction des négations de p et de q. Dans les symboles, nous avons le ~ (pvq) ≡ (~ p • ~ q) bi-conditionnel, dont la vérité logique est établie par la table de vérité suivante:

De même, puisque l'affirmation de la conjonction de p et de q affirme que les deux sont vrais, pour contredire cette affirmation, il suffit d'affirmer qu'au moins un d'entre eux est faux. Ainsi, affirmer la négation de la conjonction p • q équivaut logiquement à affirmer la disjonction des négations de p et de q. Dans les symboles, nous avons le ~ (p • q) ≡ (~ p ᵛ ~ q) bi-conditionnel, qui se révèle facilement être une tautologie.

Ces deux bi-conditionnels tautologues sont connus sous le nom de théorèmes de De Morgan, d'après le mathématicien et logicien Augustus De Morgan (1806-1871). Les théorèmes de De Morgan peuvent recevoir une formulation combinée en anglais

La négation de la {Disjonction / Conjonction} de deux instructions est logiquement équivalente à la négation {Conjonction / Disjonction} des deux instructions.

Tables de vérité:

Pour tester une forme d'argument, nous examinons toutes les instances de substitution possibles pour voir si l'une d'elles a de vraies prémisses et une conclusion fausse. Bien sûr, toute forme d’argument a une infinité d’instances de substitution, mais nous n’avons pas à craindre de devoir les examiner un à la fois. Puisque nous ne nous intéressons qu'à la vérité ou à la fausseté de leurs prémisses et de leurs conclusions, nous devons uniquement considérer les valeurs de vérité impliquées.

Les arguments qui nous intéressent ici ne contiennent que des déclarations simples et des déclarations composées qui sont construites à partir de déclarations simples au moyen des connecteurs fonctionnels de la vérité symbolisés par le point, la boucle, le coin et le fer à cheval.

Par conséquent, nous obtenons toutes les instances de substitution possibles dont les prémisses et les conclusions ont des valeurs de vérité différentes en examinant tous les arrangements possibles de valeurs de vérité pour les instructions pouvant être substituées - pour les différentes variables d’instruction de la forme argument à tester.

Lorsqu'une forme d'argument ne contient que deux variables d'instruction différentes, p et q, toutes ses instances de substitution résultent de la substitution d'instructions vraies à la fois pour p et q, ou d'une instruction vraie pour p et d'une instruction fausse pour q, ou d'une valeur fausse. un pour p et un vrai pour q, ou de fausses déclarations pour p et q. Ces différents cas sont assemblés plus commodément sous la forme d'une table de vérité. Décider de la validité de la forme de l'argument

Chaque ligne de cette table représente une classe entière d'instances de substitution. Les T et les F dans les deux colonnes initiale ou guide représentent les valeurs de vérité des instructions substituées aux variables p et q dans la forme de l'argument. Nous remplissons la troisième colonne en nous référant aux colonnes initiales ou guides et à la définition du symbole du fer à cheval.

Le titre de la troisième colonne est la première "prémisse" de la forme de l'argument, la deuxième colonne est la deuxième "prémisse" et la première colonne est la "conclusion". En examinant cette table de vérité, nous constatons que la troisième ligne contient T sous les deux prémisses et un F sous la conclusion, ce qui indique qu'il existe au moins un cas de substitution de cette forme d'argument qui comporte des prémisses vraies et une conclusion fausse.

Cette ligne suffit à montrer que la forme de l'argument n'est pas valide. Tout argument de cette forme spécifique (c'est-à-dire tout argument dont la forme d'argument spécifique est la forme d'argument donnée) est réputé commettre l'erreur de l'affirmation de la conséquence, puisque sa deuxième prémisse affirme la conséquence de sa première prémisse conditionnelle.

Quelques formes d'argument valides courantes:

Syllogisme disjonctif:

C'est l'une des formes d'arguments les plus simples et valides qui repose sur le fait que, dans toute véritable disjonction, au moins une des disjonctions doit être vraie. Par conséquent, si l'un d'entre eux est faux, l'autre doit être vrai. Nous symbolisons le syllogisme disjonctif comme suit:

Ici aussi, les colonnes initiale ou guide affichent toutes les valeurs de vérité possibles différentes des déclarations pouvant être substituées aux variables p et q. Nous remplissons la troisième colonne en renvoyant aux deux premières et à la quatrième en nous référant à la première seule.

Maintenant, la troisième ligne est la seule dans laquelle T apparaît sous les deux prémisses (les troisième et quatrième colonnes), et un T apparaît également sous la conclusion (la deuxième colonne). La table de vérité montre donc que la forme de l'argument n'a pas d'instance de substitution ayant des prémisses vraies et une conclusion fausse et prouve ainsi que la validité de l'argument est testée.

Modus Ponens:

Le type le plus simple d'argument intuitivement valide impliquant une instruction conditionnelle est illustré par l'argument suivant:

S'il y a du soleil, il y a de la lumière.

Il y a le soleil

Il y a de la lumière.

La forme spécifique de cet argument, connu sous le nom de modus ponens, est

Ici, les deux prémisses sont représentées par les troisième et première colonnes et la conclusion par la seconde. Seule la première ligne représente des instances de substitution dans lesquelles les deux prémisses sont vraies et le T dans la deuxième colonne montre que dans ces arguments, la conclusion est également vraie. Cette table de vérité établit la validité de tout argument de forme modus ponens.

Modus Tollens:

Nous avons vu que si une déclaration conditionnelle est vraie, alors si la conséquence est fausse, l'antécédent doit être faux. Cette forme d’argument est très couramment utilisée pour établir la fausseté d’une proposition dans le doute. Sur la scène d'un accident, la police peut motiver ainsi:

S'il y a du soleil, il y a de la lumière.

Il n'y a pas de lumière.

Il n'y a pas de soleil.

L'argument serait symbolisé par:

La validité de cette forme d'argument, appelée modus tollens, peut être montrée par la table de vérité suivante

Ici encore, il n'y a pas d'instance de substitution, pas de ligne sur laquelle les prémisses, p ﬤ q et ~ q, sont toutes deux vraies et la conclusion, ~ p, est fausse.

Syllogisme hypothétique:

Un autre type courant d'argument intuitivement valide ne contient que des instructions conditionnelles. Voici un exemple:

Si un homme travaille sincèrement, il réussit.

Si l'homme réussit, il obtient le bonheur.

Si un homme travaille sincèrement, il obtient le bonheur.

La forme spécifique de cet argument est

Puisque cet argument, appelé «Syllogisme hypothétique», contient trois variables d’instruction distinctes, la table de vérité doit comporter trois colonnes initiale ou guide et nécessitera huit lignes pour la liste des instances de substitution possibles. Outre les colonnes initiales, trois colonnes supplémentaires sont nécessaires: deux pour les prémisses, la troisième pour la conclusion. La table apparaît comme

En le construisant, nous complétons la quatrième colonne en renvoyant aux première et deuxième, la cinquième en référence aux deuxième et troisième et la sixième en référence à la première et la troisième. Examining the completed table, we observe that the premisses are true only in the first, fifth, seventh, and eighth rows and that in all of these the conclusion is true also. This truth table establishes the validity of the argument form and proves that the Hypothetical Syllogism also remains valid when its conditional statements are translated by means of the horseshoe symbol.

Formal Proof of Validity:

In theory, truth tables are adequate to test the validity of any argument of the general type here considered. But in practice they grow unwieldy as the number of component statements increases. A more efficient method of establishing the validity of an extended argument is to deduce its conclusion from its premisses by a sequence of elementary arguments each of which is known to be valid. This technique accords fairly well with ordinary methods of argumentation.

Consider, for example, the following argument:

If Sapna was nominated, then she went to Delhi.

If she went to Delhi, then she campaigned there.

If she campaigned there, she met Harish.

Sapna did not meet Harish.

Either Sapna was nominated or someone more eligible was selected.

Therefore someone more eligible was selected.

Its validity may be intuitively obvious, but let us consider the matter of proof. The discussion will be facilitated by translating the argument into our symbolism as

To establish the validity of this argument by means of a truth table would require one with thirty-two rows, since there are five different simple statements involved. But we can prove the given argument valid by deducing its conclusion from its premisses by a sequence of just four elementary valid arguments.

From the first two premisses A ﬤ B and BﬤC we validly infer A ﬤ C by a hypothetical syllogism. From A ﬤC and the third premiss C ﬤ D we validly infer A ﬤ D by another hypothetical syllogism. From A ﬤD and the fourth premiss ~D we validly infer ~A by modus tollens. And from ~A and the fifth premiss A ᵛ E, by a disjunctive syllogism we validly infer E, the conclusion of the original argument.

That the conclusion can be deduced from the five premisses of the original argument by four elementary valid arguments proves the original argument to be valid. Here the elementary valid argument forms hypothetical syllogism (HS), modus tollens (MT), and disjunctive syllogism (DS) are used as rules of inference in accordance with which conclusions are validly inferred or deduced from premisses.

A more formal proof of validity is given by writing the premisses and the statements that we deduce from them in a single column; and setting off in another column, to the right of each such statement, its “justification, ” or the reason we can give for including it in the proof.

It is convenient to list all the premisses first and to write the conclusion slightly to one side, separated by a diagonal line from the premisses. The diagonal line automatically labels all statements above it as premisses. If all the statements in the column are numbered, the “justification” for each statement consists of the numbers of the preceding statements from which it is inferred, together with the abbreviation for the rule of inference by which it follows from them. The formal proof of the argument above is written as:

We define a formal proof that a given argument is valid to be a sequence of statements each of which is either a premiss of that argument or follows from preceding statements of the sequence by an elementary valid argument, such that the last statement in the sequence is the conclusion of the argument whose validity is being proved.

We define an elementary valid argument to be any argument that is a substitution instance of an elementary valid argument form. One matter to be emphasized is that any substitution instance of an elementary valid argument form is an elementary valid argument. Thus the argument

is an elementary valid argument because it is a substitution instance of the elementary valid argument form modus ponens (MP). It results from

by substituting A • B for p and C ≡ (D v E) for q and is therefore of that form even though modus ponens is not the specific form of the given argument.

Modus ponens is a very elementary valid argument form indeed, but what other valid argument forms are to be included as rules of inference? We begin with a list of just nine rules of inference to be used in constructing formal proofs of validity:

Rules of Inference:

1. Modus Ponens (MP)

pﬤq