Programmation linéaire: applications, définitions et problèmes

Programmation linéaire: applications, définitions et problèmes!

(i) Établir des calendriers pour les industries de transformation des aliments et pour les raffineries de pétrole, etc.

(ii) Dans les industries du travail des métaux, il est utilisé pour le chargement en atelier et pour déterminer le choix entre l’achat et la production de diverses pièces.

(iii) Il est utilisé pour évaluer divers minerais de fer dans les industries du fer et de l'acier.

(iv) Il est utilisé pour réduire le nombre de pertes de finition dans les usines de papier.

(v) Il est utilisé pour trouver le routage optimal des massages dans un réseau de communication.

Définition de programmation linéaire:

La programmation linéaire est un outil / technique mathématique permettant de déterminer les meilleures utilisations des ressources d'une organisation. La programmation linéaire est conçue pour aider les gestionnaires à planifier et à prendre des décisions. En tant qu’outil de prise de décision, il a démontré sa valeur dans différents domaines tels que la production, le financement du marketing, la recherche et les affectations de personnel.

Détermination de la gamme de produits optimale, affectation des machines à la sélection des portefeuilles d'horaires de transport; l'emplacement de l'usine et la répartition de la main-d'œuvre, etc. sont les quelques types de problèmes qui peuvent être résolus à l'aide de la programmation linéaire.

«L'analyse des problèmes dans lesquels une fonction linéaire d'un nombre de variables doit être maximisée (ou minimisée) lorsque ces variables sont soumises à un nombre ou à des restrictions sous la forme de linéaires en égalités», Samuelson et Slow.

Selon Loomba, «la programmation linéaire n'est qu'un aspect de ce que l'on a appelé une approche système de la gestion où, dans tous les programmes, ils sont conçus et évalués en fonction de leurs effets ultimes sur la réalisation des objectifs de l'entreprise».

Problèmes de programmation linéaire - Méthode graphique:

Les étapes de la méthode graphique peuvent être résumées comme suit:

1. Formuler le problème de programmation linéaire

2. Tracer les lignes de contrainte données en les considérant comme des équations

3: À partir du graphique ci-dessus, identifiez la région de solution réalisable

4. Localisez le coin de la région de solution réalisable.

5. Calculez la valeur de la fonction objectif sur les points de coin.

6. Choisissez maintenant le point où la fonction objectif a une valeur optimale.

Exemple 1:

Après avoir terminé la construction de ses heures, M. Gopalan a constaté que 100 pieds carrés de déchets de contreplaqué et 80 pieds carrés de déchets de pin blanc sont utilisables, ce qui peut être utilisé pour la construction de tables et de couvert de livre. Il faut 16 pieds carrés de contreplaqué et 8 pieds carrés de pin blanc pour fabriquer une table, 12 pieds carrés de contreplaqué et 16 pieds carrés de pin blanc sont nécessaires pour construire une bibliothèque. En vendant les produits finis à un revendeur local, il peut réaliser un bénéfice de Rs. 25 sur chaque table et Rs. 20 sur chaque bibliothèque. Comment peut-il utiliser au mieux les restes de bois? Appliquer la méthode graphique pour résoudre le LLP

Solution:

Supposons que X ₂ soit le n ° des tables et X ₂ le n ° des classeurs afin que

Maintenant, afin de tracer temporairement la contrainte sur le graphique, nous allons convertir les inégalités en équation comme suit:

Toute combinaison de valeurs de x ₁ et x ₂ qui satisfait ces contraintes est appelée solution réalisable. La zone OABC de la Fig. 15.1 satisfaite par la contrainte est représentée par une zone ombrée et est appelée zone de solution réalisable.

Max Z = 160

x ₁ = 4

x ₂ = 3 Ans.

Exemple 2:

Une entreprise de fabrication de meubles fabrique des chaises et des tables. Les données ci-dessous montrent les ressources consommées et le bénéfice unitaire. En outre, il est supposé que le bois et le travail sont les deux ressources utilisées dans la fabrication de meubles. Le propriétaire de l'entreprise souhaite déterminer le nombre de chaises et de tables à utiliser pour maximiser les bénéfices totaux.

Solution:

Soit x, le nombre de tables x2, le no. des chaises pour que.

Maintenant, afin de tracer les contraintes sur le graphique temporairement, nous allons convertir les inégalités en équations:

De même dans l'équation

Toute combinaison de valeur de x et qui satisfait à la contrainte donnée est appelée solution réalisable. La zone OABC 'm Fig. 15.2 satisfaite par des contraintes est représentée par une zone ombrée et est connue comme une région de solution réalisable. La coordonnée du point sur le coin de la région peut être obtenue en résolvant les deux équations des droites se coupant au point B.

D'où Z = 96

x ₁ = 4

x ₂ = 9 Ans.

Exemple 3:

Une entreprise produit deux types de stylos, disons A et B. Le stylo A est de qualité supérieure et 6 est de qualité inférieure. Le profit sur les stylos A et B est Rs. 5 et Rs.3 par stylo respectivement. La matière première requise pour chaque stylo A est le double de celle du stylo B.

L'approvisionnement en matières premières n'est suffisant que pour 1000 stylos de type B par jour. La plume A nécessite un clip spécial et seuls 400 clips sont disponibles par jour. Pour le stylo B, seuls 700 clips sont disponibles par jour. Trouvez graphiquement la gamme de produits afin que l'entreprise puisse réaliser un profit maximum.

(MBA de l'Université de Delhi, avril 1988)

Solution:

Soit x ₁ = nombre de stylos de type A

x ₂ = nombre de stylos de type B

La formulation mathématique des problèmes est

En convertissant les inégalités des contraintes ci-dessus en égalités pour tracer le graphique, nous obtenons

En traçant les lignes ci-dessus sur le graphique, nous avons x ₁ x ₂ satisfaire les trois contraintes en tant que x ₁ ≥ 0 et x ₂ ≥ 0, de sorte que la figure 15.3 ci-dessus constitue ODABE en tant que région réalisable.

Les différents points sont évalués comme suit.

Il est évident d'après le tableau ci-dessus que la valeur maximale de est Rs. 2850 au point B

Donc x ₁ = 150, x ₂ = 700 et Z = 2850

Exemple 4:

GJ Breveries Ltd. Ayant deux usines d'embouteillage, l'une située à G et l'autre à J. Chaque usine produit trois boissons-whisky, bière et brandy nommés respectivement A, B et C. Le nombre de bouteilles produites par jour est le suivant.

Un marché a indiqué qu’au cours du mois de juillet, il y aurait une demande de 20000 bouteilles de whisky, de 40000 bouteilles de bière et de 44000 bouteilles de brandy. Les coûts d’exploitation journaliers pour les usines G et J sont de 600 et 400 unités monétaires. Pendant combien de jours chaque usine sera-t-elle exploitée en juillet afin de minimiser les coûts de production tout en satisfaisant la demande du marché? Résoudre graphiquement?

Solution:

Les données du problème sont les suivantes:

Maintenant, l'objectif est de minimiser le coût, le problème peut être présenté de manière mathématique comme suit.

Afin de tracer les contraintes sur le graphe, convertissons les inégalités des contraintes ci-dessus en égalités

1500x ₁ + 1500x ₂ = 20000

3000x ₁ + 1000x ₂ = 40000

20000x ₁ + 5000x ₂ = 44000

Nous simplifions les équations ci-dessus

La solution sera dans le premier quadrant, étant donné que chacune d’elles est supérieure ou égale aux contraintes de type, les points (x _v x ₂ ) se trouvent alors dans la région qui tombe vers la droite de chacune des lignes tracées.

La région de solution non bornée du graphique ci-dessus est ABC et, afin de trouver la valeur en B, nous résolvons l'équation intersectionnelle & simultanément.

Exemple 5:

Le responsable d’une raffinerie de pétrole doit décider du mélange optimal de deux procédés de mélange possibles, dont les entrées et les sorties par production sont les suivantes:

Le montant maximum disponible pour le brut A et B est respectivement de 200 et 150 unités. Les besoins du marché montrent qu’au moins 100 unités de ganoline X et, par conséquent, d’essences Y doivent être produites.

Les bénéfices par cycle de production des processus 1 et 2 sont égaux à Rs. 300 et Rs. 400 respectivement. Résoudre le LP par méthode graphique.

(MBA de l'Université du Gujarat, 1989)

Solution:

Selon les données, la formulation mathématique des problèmes est

Max Z = 300x ₁ + 400x ₂

Sujet à

5x ₁ + 4x ₂ = ≤ 200

3x ₁ + 5x ₂ = ≤ 150

5x ₁ + 4x ₂ = ≥ 100

8x ₁ + 4x ₂ = ≥ 80

Dans le but de représenter graphiquement ces contraintes, considérons-les en égalités comme une équation de sorte que

Si nous traçons les valeurs sur le graphique, nous l'obtenons comme le montre la figure 15.5.

La solution se trouve à l’un des sommets de la région de solution LMN, O, P et pour déterminer la valeur inconnue, c’est-à-dire de O, nous résolvons les équations d’intersection simultanément, c’est-à-dire

Exemple 6:

Une entreprise fabrique le produit x et y a une capacité totale de production de 9 tonnes. Par jour, x & y nécessitant la même capacité de production. La société a un contrat permanent pour fournir au moins 2 tonnes de x et au moins 3 tonnes de y par jour à une autre entreprise. Chaque tonne de x nécessite 20 heures de temps de production et chaque tonne de y nécessite 50 heures de temps de production.

Le nombre maximum d'heures d'utilisation journalière est de 360. Toute la production de l'entreprise peut être vendue et le bénéfice réalisé est de Rs. 80 par tonne de x et de roupies. 120 par tonne de y. Il est nécessaire de déterminer le calendrier de production pour un profit maximum et de calculer le calendrier de production pour un profit maximum et de calculer un bénéfice.

(MBA de l'université de Delhi, avril 1983)

Solution:

Le LP donné peut être écrit mathématiquement comme suit:

Supposons que les inégalités soient traitées comme des équations dans le but de représenter graphiquement les valeurs ci-dessus:

Représentons ces équations sur le graphique, comme indiqué à la Fig. 15.6.

Dans le diagramme, il est clair que EFGH est la région de la solution et que la solution se situe au point tournant d’EFGH.

La valeur par inspection à

E = (2, 3)

F = (6, 3)

Pour le point “La valeur peut être calculée par des équations simultanées des lignes entre le réglage de H. ie

20x ₁ + 50x ₂ = 360

x ₁ = 2

x ₂ = 320/50 = 6, 4

Comme au point G qui est l'intersection des équations

20x ₁ + 50x ₂ = 360… (1)

x ₁ + x ₂ = 9… (2)

En résolvant ces équations, nous obtenons

x ₁ = 3, x ₂ = 6

Le profit maximum est au point G.

x ₁ = 3

x ₂ = 6

Z = 960 Ans.

Exemple 7:

Le poids standard d’une brique à usage spécial est de 5 kg et contient deux ingrédients de base 6 ₁ et S _{2 au} tarif de Rs. 5 par kg et S ₂ coûte Rs. 8 par kg

La solidité exige que la brique ne contienne pas plus de 4 kg de S, et au minimum 2 kg de S _2, car la demande pour le produit est susceptible d'être liée au prix de la brique. Découvrez le coût minimum de la brique répondant à ce qui précède. conditions.

(ICWA juin 1982)

Solution:

La forme mathématique donnée aux données fournies peut être la suivante:

Si nous traitons les inégalités de contraintes comme une équation pour le moment, nous pourrons alors tracer l’équation sur le graphique.

Nous traçons maintenant ces valeurs sur le graphique.

L'une des contraintes étant l'égalité x ₁ + x ₂ = 5. Il n'y a pas de solution, mais un point de solution qui satisfait toutes les conditions, c'est-à-dire le point S (3, 2).

Z = 31

x ₁ = -3

x ₂ = 2Ans.

Exemple 8:

Résoudre graphiquement le problème de programmation linéaire suivant.

Solution:

Pour tracer le graphe convertissant les inégalités des contraintes données en égalités, on obtient

Tracez maintenant les lignes ci-dessus sur le graphique, comme illustré à la Fig. 15.8. La région de solution réalisable qui est ombrée et délimitée par ABCDE. La valeur de Z en différents points est la suivante.

Le point A les lignes qui se croisent sont

2x ₁ - x ₂ = -2

2x ₁ + 3x ₂ = 12

En les résolvant simultanément nous obtenons

x ₁ = 0, 75

x ₂ = 3, 5

Au point B, les lignes qui se croisent sont

2x ₁ - x ₂ = -2

-3x ₁ + 4x ₂ = 12

En résolvant ces équations, nous obtenons les coordonnées de B comme

x ₁ = 0, 8

x ₂ = 3, 6