Méthodes en deux phases pour la résolution de problèmes en programmation linéaire: première et deuxième phase
Dans cette méthode, le problème est résolu en deux phases, comme indiqué ci-dessous.
Première phase:
(a) Tous les termes de la RHS doivent être non négatifs. Si certains sont -ve alors ils doivent être + v comme expliqué précédemment.
(b) Exprimer les contraintes sous forme standard.
(c) Ajoutez des variables artificielles dans les contraintes d'égalité ou (>) les contraintes de type.
(d) Former une nouvelle fonction objective W qui consiste en la somme de toutes les variables artificielles
W = A 1 + A 2 + …………………… + A m
La fonction (W) est connue comme une forme infaisable.
(e) La fonction W doit être minimisée en fonction des contraintes du problème initial et la solution de base optimale réalisable est obtenue.
L'un des trois cas suivants peut survenir:
(j'en suis. W> 0 et au moins une variable artificielle apparaît dans la colonne «Variables de base» au niveau positif. Dans ce cas, aucune solution possible n'existe pour le LPP d'origine et la procédure est arrêtée.
(ii) Min. W = 0 et au moins une variable artificielle apparaît dans la colonne «Variables de base» au niveau zéro. Dans un tel cas, la solution de base optimale possible pour le formulaire d’infaisabilité peut être ou non une solution de base possible pour le LPP donné (original). la base et ensuite passer à la phase II.
(iii) Min. W = 0 et aucune variable artificielle n'apparaît dans la colonne «Variables de base» solution actuelle ». Dans un tel cas, une solution de base réalisable au LPP original a été trouvée. Passez à la phase II.
Seconde phase:
Utilisez la solution de base optimale réalisable de la phase I comme solution de départ pour le LPP d’origine. La méthode du simplex permet de réaliser des itérations jusqu’à ce que la solution de base optimale soit obtenue.
On peut noter que la nouvelle fonction objectif W est toujours du type minimisation, que le LPP (d'origine) donné soit du type maximisation ou minimisation. Prenons l'exemple suivant.
Exemple 1 (méthode simplex en deux phases):
Utilisez la méthode simplex en deux phases pour
Minimiser Z = -3X - 2Y - 2Z
Sous réserve de 5X + 7Y + 4Z <7
-4X + 7Y + 5Z> –2
3X + 4 V - 6Z> 29/7
X, Y, Z> 0
Solution:
Première phase
Il comprend les étapes suivantes.
(a) Dans la deuxième contrainte, RHS est -ve, donc il est créé en multipliant par le signe moins des deux côtés
4X - 7Y - 5Z <2
(b) Ajout de variables de jeu dans les contraintes
5X + 7Y + 4Z + S 1 = 7
4X - 7Y - 5Z + S 2 = 2
3X + 4Y - 6Z - S 3 = 29/7
où X, Y, Z, S 1, S 2, S 3 > 0
(c) Mettez X = Y = Z = 0, nous obtenons S 1 = 7, S 2 = 2, S 3 = -29/7. comme solution initiale. Mais la série S 3 est -ve, nous allons ajouter la variable artificielle A, à savoir
3X + 4Y- 6Z- S 3 + A 1 = 29/7
(d) La fonction objective qui est le type de minimisation est transformée en type de maximisation, à savoir
Maximiser Z = 3X + 2Y + 2Z
(e) Nous introduisons la nouvelle fonction objectif W = A 1 pour la première phase à minimiser.
(f) En substituant X = Y = Z = S 3 = 0 dans les contraintes, nous obtenons S 1 = 7, S 2 = 2, / A 1 = 29/7 comme solution de base réalisable initiale. Tableau 1 s'il est formé.
Test d'optimalité préformé
Comme Cj-Ej est négatif dans les mêmes colonnes (problème de minimisation), la solution réalisable de base actuelle peut être améliorée.
Itérer vers et solution optimale:
Effectuer des itérations pour obtenir une solution optimale.
Remplacez S 1 par X 2 . cela est indiqué dans le tableau ci-dessous
Dans la table, la ligne de clé est liée: la colonne X correspond à la colonne clé et la colonne y à la première colonne de l'identité. En suivant la méthode de départage, nous constatons que la colonne y ne rompt pas la rencontre. La colonne suivante de l’identité, c’est-à-dire la colonne S 2, indique le rang A1 comme ligne de clé. Ainsi (1/7) est l'élément clé est faite unité dans la table
Remplacez A 1 par X comme indiqué dans le tableau ci-dessous
Le tableau 5 donne la solution optimale. De plus, puisque le minimum W = 0 et qu’il n’existe pas de variable artificielle dans les variables de base, c’est-à-dire dans la solution actuelle, le tableau 5 donne la solution de base réalisable pour la phase II.
Seconde phase:
La fonction objectif d'origine est
Maximiser Z = 3x + 2y + 2Z + OS, + 0S 2 + 0S 3
Il doit être maximisé en utilisant les contraintes d'origine. En utilisant la solution de phase I comme solution de départ pour la phase II et en effectuant un calcul en utilisant l'algorithme simplex, nous obtenons le tableau 6.
L'élément clé est fait l'unité dans la table7
Remplacez S 2 par X 3 .
